C
|
1 |
#include <stdio.h> voidfindNdigitNums(charresult,intindex,intn,inttarget) { // если число меньше n-значного и сумма его цифр // меньше заданной суммы if(index<n&&target>=) { chard=’0′; // особый случай: число не может начинаться с 0 if(index==){ d=’1′; } // рассматриваем каждую допустимую цифру и помещаем ее в текущую // индексировать и повторять для следующего индекса while(d<=’9′) { resultindex=d; intdigit=(d-‘0’); findNdigitNums(result,index+1,n,target-digit); d++; } } // если число становится n-значным и сумма его цифр равна // равно заданной сумме, вывести ее elseif(index==n&&target==){ printf(«%s «,result); } } intmain() { intn=3;// n-цифра inttarget=6;// данная сумма // массив символов для хранения результата charresultn+1; resultn=’\0′;// null завершает массив findNdigitNums(result,,n,target); return; } |
Скачать Выполнить код
результат:
105 114 123 132 141 150 204 213 222 231 240 303 312 321 330 402 411 420 501 510 600
Применение в задачах
В задачах, где требуется определить количество возможных комбинаций четырехзначного числа, если цифры в нем не повторяются, можно применить сочетания без повторений.
Сочетания без повторений используются для определения количества способов выбрать k элементов из n, не учитывая порядок. В нашем случае, n равно 10 (всего 10 цифр от 0 до 9), а k равно 4 (четыре цифры в числе).
Формула для вычисления количества сочетаний без повторений выглядит следующим образом:
C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
Здесь «!» обозначает факториал — произведение всех натуральных чисел от 1 до данного числа.
Применяя данную формулу к нашей задаче, получаем:
C(10, 4) = 10! / (4!(10-4)!) = 10! / (4!6!)
Вычислив данное выражение, получим ответ: сколько комбинаций существует у четырехзначного числа, если цифры в нем не повторяются.
Таким образом, используя сочетания без повторений, мы можем решать задачи, связанные с определением количества комбинаций при выборе определенного числа элементов из заданного множества.
Выстраивание паролей
Создание надежных паролей является важной задачей в современном цифровом мире. Пароли уникальны для каждого пользователя и обеспечивают конфиденциальность и защиту личных данных
Однако многие люди сталкиваются с проблемой выбора надежного пароля, который был бы сложным для отгадывания.
Одним из подходов к созданию паролей является использование чисел. Например, мы можем создать пароль из четырех значных чисел
Однако важно учитывать, что цифры в пароле не должны повторяться, чтобы обеспечить максимальную безопасность
Теперь давайте рассмотрим сколько комбинаций можно получить из четырех значного числа, если цифры в нем не повторяются. Для первой позиции в числе мы можем выбрать любую из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. После выбора первой цифры, для второй позиции у нас остается только девять возможных вариантов (так как одну цифру мы уже использовали). Аналогичным образом, для третьей позиции у нас остается восемь вариантов, а для четвертой — семь вариантов.
Таким образом, общее количество комбинаций, которое можно получить из четырех значного числа без повторения цифр, будет равно произведению всех возможных вариантов для каждой позиции: 10 * 9 * 8 * 7 = 5040.
Итак, при использовании четырех значного числа без повторения цифр, мы можем получить 5040 различных комбинаций, которые могут быть использованы в качестве паролей. Это обеспечивает надежную защиту от несанкционированного доступа к личным данным пользователя.
Генерация случайных данных
Нередко возникает необходимость в генерации случайных данных. Это может быть полезно, например, при создании тестовых наборов данных для анализа или для проведения экспериментов.
Одним из случаев, когда может понадобиться генерация случайных данных, является ситуация, когда необходимо создать числа, состоящие из четырех цифр, при условии, что цифры в числе не повторяются. Вопрос, сколько возможных комбинаций может быть в таком случае.
Для решения данной задачи можно воспользоваться комбинаторикой. Учитывая, что числа состоят из четырех цифр, причем цифры не повторяются, имеем простую формулу для подсчета количества комбинаций. Во-первых, каждая цифра может принимать одно из десяти возможных значений (0-9). Во-вторых, при выборе первой цифры, возможно десять вариантов. При выборе второй цифры, возможно уже девять вариантов (так как одно значение уже выбрано). То же самое касается и третьей и четвертой цифры.
Итак, сколько комбинаций может быть у четырехзначного числа, если цифры в нем не повторяются? Учтем, что мы будем выбирать по одной цифре на каждой позиции: 10 * 9 * 8 * 7 = 5040.
Расчет вероятности событий
Когда речь идет о комбинациях чисел, мы часто задаемся вопросом, сколько их может быть. В данном случае рассмотрим четырех значное число, в котором цифры не повторяются.
Для начала определим, сколько возможных значений может принимать каждая позиция числа. В случае четырех значного числа, первую позицию можно заполнить любой из 9ти цифр (от 1 до 9). После выбора первой цифры, для оставшихся трех позиций остается 9 возможных значений (1 — уже выбрано). Таким образом, общее количество комбинаций можно посчитать как произведение количества значений для каждой позиции, то есть 9 * 9 * 8 * 7 = 4536.
Таким образом, для четырех значного числа, в котором цифры не повторяются, имеем 4536 возможных комбинаций. Каждая из этих комбинаций является равновероятным событием, поэтому вероятность получить определенную комбинацию равна 1/4536.
7.1.11. Дополнительные задачи¶
Я надеюсь, что вы решите одну-две задачи и хотя бы серьёзно (хотя бы
день) подумаете над остальными (или решите их), прежде чем переходить к
части . Часть из (нормальных переборных)
решений этих задач используют идеи, про которые я буду рассказывать в
части , но будет неплохо, если вы додумаетесь
до них сами :), или как минимум если напишете что-то хоть и корявое, но
работающее.
Точнее, сначала убедитесь, что материал части
текущего раздела () у вас «осел» в голове,
и что вы этот раздел понимаете (а для этого прорешайте
задачи из основного текста раздела), потом решайте
задачи. Если не решите (подумав над задачами хотя бы некоторое время,
день-два), смотрите подсказки. Попробуйте учесть их и подумать над
задачами ещё. Потом разберите решения. Может быть, последние три задачи
вам покажутся нетривиальными — ну хотя бы попробуйте их решать…
Задача 7.8:
Напишите программу перебора всех последовательностей длины \(n\),
состоящих из нулей и единиц, в которых не встречается \(k\) нулей подряд.
(Например, при \(k=2\) и \(n=3\) это будут последовательности
010, 011, 101, 110 и 111). Основной задачей программы будет посчитать,
сколько таких последовательностей всего, но имеет смысл выводить их на
экран (или в файл) для проверки.
а) Напишите эту программу, модифицировав пример 1, т.е перебирая все
последовательности из 0 и 1 длины \(n\), и проверяя, что
последовательность «правильная», только в процедуре \(check\).
б) Напишите программу, которая будет перебирать только такие
последовательности, т.е. чтобы каждая ветка перебора заканчивалась
нахождением решения, и в процедуре \(check\) проверки не были бы
нужны.
в) (дополнительный пункт, не имеющий отношения к перебору) Если вы
раньше не сталкивались с такой задачей, то попробуйте найти несложную
закономерность ответов при фиксированном \(k\) (т.е. сначала
посмотрите на ответы на задачу при \(k=2\) и найдите в них
закономерность, потом поищите закономерность при \(k=3\), потом при
\(k=4\) и т.д.) Кстати, не забудьте, что тестить имеет смысл и
очевидный случай \(k=1\) 
Задача 7.9:
Паросочетание в произвольном графе. Рассмотрим граф с
\(2N\) (т.е. чётным) количеством вершин. Паросочетанием в нем
назовём набор из \(N\) рёбер, у которых все концы различны (т.е.
каждая вершина соединена ровно с одной другой: разбиение вершин на
пары). .
а) Напишите программу, которая будет перебирать все разбиения вершин на
пары и проверять, является ли такое разбиение паросочетанием (т.е. все
ли нужные ребра присутствуют в нашем графе).
б) Считая, что граф полный и взвешенный, напишите программу, которая
найдёт паросочетание наименьшего веса.
Задача 7.10:
Напишите программу перебора всех разложений числа \(N\) на
натуральные слагаемые.
Вариант 1: ровно на \(k\) слагаемых
а) считая, что слагаемые могут повторяться и что порядок слагаемых важен
(т.е. что \(2+1\) и \(1+2\) — это разные решения);
б) считая, что порядок слагаемых не важен, т.е. выводя только одно
разложение из разложений \(2+1\) и \(1+2\), при этом допуская
одинаковые слагаемые;
в) считая, что все слагаемые должны быть различны, при этом порядок
слагаемых не важен.
Вариант 2: на сколько угодно слагаемых в тех же трёх подвариантах (а, б
и в)
Написав программы, прежде чем тестировать их, ответьте в уме на такой
вопрос: ваша (уже написанная!) программа в варианте «а» будет при
\(n=3\) выводить решения \(1+2\) и \(2+1\). А при
\(n=2\) она будет выводить \(1+1\) один раз или два раза (во
второй раз как будто переставив единички)?
Задача 7.11:
Задача «Числа». Дана последовательность из \(N\) чисел. За
одно действие разрешается удалить любое число (кроме крайних), заплатив
за это штраф, равный произведению этого числа на сумму двух его соседей.
Требуется удалить все числа (кроме двух крайних) с минимальным суммарным
штрафом.
У этой задачи есть (не самое тривиальное) динамическое решение, но
напишите переборное решение. Тут надо перебрать все варианты удаления
чисел и выбирать из них тот, который даст минимальный штраф.
Задача 7.12:
(Какая-то довольно искусственная задача, но хорошо подходит
для иллюстрации одной из идей далее). Посчитать количество
последовательностей из \(m\) нулей и \(n\) единиц,
удовлетворяющих следующих условиям. Первое условие: никакие две единицы
не должны стоять рядом. Таким образом единицы делят последовательность
на несколько групп из подряд идущих нулей. Второе условие: количество
нулей в последовательных группах должно неубывать, и при этом в соседних
группах должно отличаться не более чем на 1. Эта задача имеет
динамическое решение, но напишите перебор.
7.1.5. Общая идеология поиска¶
Итак, нам надо перебрать объекты из некоторого множества. Более
конкретно — вызвать процедуру \(check\) для каждого объекта. Таким
образом, основная задача перебора будет состоять в том, чтобы вызвать
процедуру \(check\) для всех объектов из нашего множества.
Обычно объекты из множества можно задавать некоторым массивом, элементы
которого принимают те или иные значения. В приведённом выше примере это
был массив \(a\) — массив двоичных цифр; везде ниже я аналогичные
массивы тоже буду обозначать \(a\). Обычно перебрать все подходящие
значения одного конкретного элемента массива \(a\) легко; в приведённом выше
примере каждый элемент массива \(a\) мог принимать два значения:
ноль и один.
Тогда перебрать все объекты можно с помощью следующей процедуры:
def find(i):
if выбраны все элементы, т.е. сформировано некоторое решение
check()
return
для каждого возможного значения ai]:
ai = это значение
find(i + 1)
Комментарии:
-
Проверка на то, что решение сформировано. В простейшем случае это
будет просто , как выше, но могут быть и более
сложные варианты (например, если число элементов не фиксировано). -
Цикл по возможным значениям \(a\). Опять-таки, в каждом
конкретном случае, конечно, свой. Как правило, это будет цикл
\(for\), нередко с вложенным \(if\), например,for j in range(n): if (j может быть значением ai]): ai = j find(i + 1)примеры будут ниже.
Эта процедура \(find\) работает аналогично приведённому выше примеру
(и вообще, все процедуры \(find\) в переборе работают аналогично
друг другу): считая, что начало из \(i-1\) элемента фиксировано,
перебирает все возможные окончания. Она смотрит, какой может быть
\(i\)-й элемент, перебирает все его значения, и для каждого
запускает рекурсивно \(find(i+1)\), которая переберёт все окончания,
считая первые \(i\) элементов фиксированными.
Задания
Задание 1 Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые делятся на 7.
Решение:
Минимальное трехзначное число, которое делится на 7, будет 105, каждое следующее будет больше предыдущего на 7.
Последнее трехзначное число, которое делится на 7 будет 994.
Сколько всего таких чисел?
105:7=15
994:7=142
142-15=127
127+1=128 (учтем число 105).
Итак, 128 трехзначных чисел делятся на 7.
Тогда сумма S=(a_1+a_n) \cdot n/2=(105+994) \cdot 128/2= 1099 \cdot 64=70336 .
Ответ: 70336
Задание 2.
Сколько существует различных трёхзначных чисел, оканчивающихся на ноль?
Решение:
Нам нужно рассмотреть количество вариантов, доступных для трех цифр в числе. Первые две цифры могут быть любыми от 1 до 9 включительно, а последняя цифра, цифра единиц, должна быть 0.
Итак, у нас есть 9 вариантов для первой цифры, 9 вариантов для второй цифры и 1 вариант для последней цифры (0).
Общее количество находится путем умножения количества вариантов, доступных для каждой цифры. Мы можем сделать это, используя формулу:
Количество вариантов для первой цифры • Количество вариантов для второй цифры • Количество вариантов для третьей цифры
Итак, у нас есть:
9·9·1 = 81
Следовательно, существует 81 трехзначное число, в записи единиц которого 0.
Ответ: 81
Натуральный ряд
Натуральный ряд — это последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. В натуральном ряду каждое последующее число равно предыдущему + 1.
Примеры натуральных рядов:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41
122, 123, 124
Если разница между натуральными числами больше единицы или если последующее натуральное число меньше предыдущего, эта последовательность не является натуральным рядом.
Примеры ненатуральных рядов:
9, 10, 12, 13
47, 46, 48, 49
Практика:
Предложите ребёнку определить, какие из приведённых ниже последовательностей можно отнести к натуральным рядам:
а) 56, 57, 59, 60
б) 108, 109, 110, 111, 112, 113
в) 74, 73, 72, 71, 70
г) 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13
Термины и обозначения
В контексте темы «Как называется 12-значное число» важно понимать следующие термины и обозначения:
- Называется — это означает, как называется или обозначается данное число.
- Значное — это характеристика числа, которая указывает на количество разрядов в числе.
- Число — это математический объект, выражающий количество или порядок величин.
- 12 — это количество разрядов в числе, обозначающее двенадцать разрядов.
Таким образом, в данном контексте «12-значное число» означает число, состоящее из двенадцати цифр.
Двеннадцатизначное число
Двеннадцатизначные числа могут использоваться в различных областях, например, в математике, экономике, физике и технике. Они могут представлять собой идентификационные номера, серийные номера, коды или любые другие числовые значения.
Разряды чисел.
Рассмотрим число 134. У каждой цифры этого числа есть свое место. Такие места, называются, разрядами.
Цифра 4 занимает место или разряд единиц. Так же цифру 4 можно назвать цифрой первого разряда.
Цифра 3 занимает место или разряд десятков. Или цифру 3 можно назвать цифрой второго разряда.
И цифра 1 занимает разряд сотен. По-другому, цифру 1 можно назвать цифрой третьего разряда. Цифра 1 является последней цифрой слава числа 134, поэтому цифру 1 можно назвать, цифрой высшего разряда. Цифра высшего разряда всегда больше 0.
Каждые 10 единиц любого разряда образуют новую единицу более высокого разряда. 10 единиц образуют один разряд десяток, 10 десятков образуют один разряд сотен, десять сотен образуют разряд тысяч и т.д.
Если нет какого-то разряда, то вместо него будет стоять 0.
Например: число 208.
Цифра 8 – первый разряд единиц.
Цифра 0 – второй разряд десятков. 0 означает в математике ничего. Из записи следует, что десятков у данного числа нет.
Цифра 2 – третий разряд сотен.
Такой разбор числа называется разрядным составом числа.
Сумма разрядных слагаемых.
Любое натурально число имеющее различные разряды можно разложить на сумму разрядных слагаемых. Рассмотрим пример:
Число 4062 распишем на разряды.
4 тысяч 0 сотен 6 десятков 2 единиц или по-другому можно записать
4062=4 ⋅1000+0 ⋅100+6 ⋅10+2
Следующий пример:
26490=2 ⋅10000+6 ⋅1000+4 ⋅100+9 ⋅10+0
Вопросы по теме:
Назовите первые четыре класса в записи натуральных чисел?
Ответ: класс единиц, класс тысяч, класс миллионов, класс миллиардов.
Как читают многозначные числа?
Ответ: многозначные числа читают слева направо. Разбивают число по 3 цифры с конца на классы, называют все цифры, кроме нуля. Цифра 0 в записи числа означают отсутствие разряда.
Какие цифры могут стоять в любом разряде числа, кроме высшего?
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.
Какие цифры могут стоять в высшем разряде числа?
Ответ: 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9.
Что такое сумма разрядных слагаемых?
Ответ: Это разложение натурального числа на разряды и суммирование их.
Сколько десятков в сотне?
Ответ: в сотне 10 десятков.(10+10+10+10+10+10+10+10+10+10=100)
Сколько сотен в тысячи?
Ответ: в тысячи 10 сотен. (100+100+100+100+100+100+100+100+100+100=1000)
Сколько десятков в тысячи?
Ответ: в тысячи 100 десятков.
Сколько тысяч в миллионе?
Ответ: в миллионе 1000 тысяч.
Примеры на задачи.
Пример №1:
Запишите и прочитайте число: а) пятизначное б) шестизначное.
Ответ: а) 35 100 (тридцать пять тысяч сто) б) 803 273 (восемьсот три тысячи двести семьдесят три)
Пример №2:
Сколько натуральных чисел: а) однозначных б) двузначных?
Ответ: а) однозначных натуральных чисел 10 (0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9), б) двузначных натуральных чисел 90 (10, 11, 12, …,99)
Пример №3:
В записи числа 10398 назовите цифры разрядов единиц, десятков, сотен, тысяч, десятков тысяч, …
Ответ: 8 – разряд единиц, 9 – разряд десятков, 3 – разряд сотен, 0 – разряд тысяч, 1 – разряд десятков тысяч.
Пример №4:
Напишите наименьшее трехзначное число и наибольшее пятизначное число.
Ответ: 100 и 99999.
Пример №5:
Запишите число 56976 в виде суммы разрядных слагаемых:
Ответ: 56976=50000+6000+900+70+6=5⋅10000+6⋅1000+9⋅100+7⋅10+6
Задача по математике — 3764
ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК
2019-06-16 Будем называть $2n$-значное число особым, если око само является точным квадратом, и числа, образованные его первыми цифрами и его последними $n$ цифрами, также являются точными квадратами (при этом второе $n$-значное число может начинаться с цифры 0, но не должно быть равно нулю, а первое не может начинаться с нуля).
а) Найдите все двузначные и четырехзначные особые числа.
б) Возможны ли шестизначные особые числа? (Докажите, что их нет или приведите пример такого числа,)
в) Докажите, что существует хотя бы одно 20-значное особое число.
г) Докажите, что существует не более 10 особых 100-значных чисел.
д) Докажите, что существует хотя бы одно 30-значное особое число.
Решение:а) Пусть $(10x + t)^2 = 100x^2 + 20xt + t^2$, где $20xt + t^2$ — квадрат натурального числа, меньшего 10, $x$ и $t$ — целые числа от 1 до 9 и $x^2 >10$. Тогда $x \geq 4$ и $x \leq 4$, что возможно лишь при $x = 4$ и $t = 1$.
Ответ: существует одно двузначное 49 и одно четырехзначное $1681 = 41^2$ особое число.
б) Ответ: да; например, $256036 = 506^2$.
в) Чтобы получить нужное особое число вида
$(10^5 x + 1)^2 = 10^{10}x^2 + 2 \cdot 10^5 x + 1$,
достаточно найти целое $x$ такое, что $10^9
$(4999900001)^2 = 24999000019999800001$;
оно «состоит» из $49999^2$ и $99999^2$).
г) Для любого $k$ особым $4k$-значным числом может быть лишь
$(10^kx + t)^2 = 10^2kx^2 + 2 \cdot 10^k xt + t^2$
при $10^{2k-1} \leq x^2 3 \cdot 10^{k-1}$, и $6 \cdot 10^{2k-1} t
(1) $u + 1$ делится на $5 \cdot 10^{k-1}$;
(2) $u$ делится на $2^{к-1}$, $u + 1$ — на $5^k$;
(3) $u$ делится на $5^k$, $u + 1$ — на $2^{k-1}$.
Каждый случай дает не более чем одно решение, удовлетворяющее условию $u
Более детальные рассуждения показывают, что таких чисел не более двух.
д) Для любого $k$ существует по крайней мере одно $(4k + 2)$-значное особое число, а именно $z^2 = v + w^2$, где $v = 25 \cdot 10^{2k-1}, w$ — наименьшее натуральное число, большее $\sqrt v$. Пусть $у = w^2 — v$; при этом $z^2 = 4v \cdot w^2 + y^2 = 10^{2k+1} w^2 + у^2$ «состоит» из $w^2$ и $y^2$ и будет особым, если выполнены неравенства $0
Поскольку $w — 1
В частности, с помощью компьютера можно найти, при $k = 7$, число
$z = 25 \cdot 10^{13} + 15811389^2 = 500000022109321$,
квадрат которого — 30-значное особое число. Полнее исследование в задаче о $(4k + 2)$-значных особых числах, связанное с десятичным разложением числа $\sqrt{10}$, представляется довольно безнадежным и не слишком интересным.
Десятичная запись натурального числа
Любое, даже самое большое число, можно записать с помощью десяти арабских цифр. Никакие дополнительные символы использовать не нужно. Цифры записываются в строчку, слева направо. Последовательность цифр в одном числе может быть абсолютно любой. Бывают и такие числа, в написании которых цифры повторяются.
Ноль, хоть и не является сам по себе натуральным числом, может применяться для обозначения других натуральных чисел.
Рассмотрим примеры:
1 876 542 — один миллион восемьсот семьдесят шесть тысяч пятьсот сорок два. Достаточно большое число, и для его обозначения понадобились только арабские цифры.
373 — триста семьдесят три. Число, для обозначения которого мы дважды использовали цифру 3.
208 — двести восемь. Число, для обозначения которого мы использовали 0.
А вот примеры неправильного применения цифры 0:
07, 011, 0117
Ноль означает пустоту, поэтому его не нужно ставить перед числом.
Примечание: ноль перед числом используется для написания дат: 03.05.2022, 07.10.1981. Это делается, чтобы избежать путаницы.
Практика:
Попросите ребёнка записать с помощью цифр следующие числа: двадцать два, сто восемьдесят семь, пятьсот три, девятнадцать.
Применение в математике и науке
Число, состоящее из 12 значений, называется 12-значным числом. В математике и науке такие числа имеют большое практическое применение. Они используются в различных областях для записи и представления данных, например, в финансовых расчетах, статистике и программировании.
12-значные числа могут быть использованы для представления больших числовых значений, которые не могут быть представлены с помощью меньших чисел. Например, в финансовой сфере они используются для записи длинных номеров счетов, банковских карт и других идентификационных номеров.
В науке такие числа могут быть использованы для записи точных значений физических величин, таких как масса, длина, время и прочие. Они также могут быть применены в научных вычислениях, моделировании и анализе данных.
12-значные числа могут быть представлены в различных системах счисления, таких как десятичная, двоичная или шестнадцатеричная
При работе с такими числами важно учитывать их особенности и правильно интерпретировать полученные результаты
Использование в криптографии
Такие 12-значные числа могут быть использованы, например, для генерации уникальных и случайных идентификаторов, паролей или ключей шифрования. Их длина обеспечивает достаточную сложность для предотвращения несанкционированного доступа или взлома системы.
Использование 12-значного числа в криптографии позволяет обеспечить безопасность данных и защитить их от несанкционированного доступа и неправомерной обработки. Это важный аспект в современной информационной безопасности, который играет ключевую роль в обеспечении конфиденциальности данных и целостности систем.
Роль в числовых системах
Число 12 играет важную роль в различных числовых системах. Как известно, мы привыкли работать с десятичной системой счисления, где числа состоят из 10 цифр (от 0 до 9). Однако в других системах счисления число может быть представлено большим или меньшим количеством цифр.
Например, в двоичной системе счисления используется только две цифры — 0 и 1. Это означает, что каждая позиция числа может принимать одно из двух значений. В такой системе число 12 выглядит как «1100». Это означает 1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 0 * 2^0, то есть 8 + 4 + 0 + 0 = 12.
А в шестнадцатеричной системе счисления используется 16 цифр: от 0 до 9 и от A до F. В этой системе число 12 просто обозначается как «C».
Таким образом, число 12, в зависимости от используемой системы счисления, может иметь различные записи. Понимание этого позволяет работать с числовыми системами более гибко и эффективно.
Количественный смысл натуральных чисел
Натуральные числа используются для чего-то, что можно посчитать или пронумеровать. Например, мы можем посчитать, сколько ножек у стола, сколько учеников в классе или даже сколько орешков в пачке.
А ещё мы можем пронумеровать автобусные маршруты, билеты на спектакль или спортивные разряды.
Сколько человек в классе? 25. Это значит, что именно столько человек должны присутствовать на уроке (если, конечно, никто не болеет).
Какой номер маршрута у автобуса? 17-й. Это значит, что в городе есть ещё как минимум шестнадцать разных маршрутов, по которым ходят автобусы.
Натуральные числа здесь выступают как средство для нумерации. Именно в этом заключается их количественный смысл — обозначать количество того, что можно посчитать.
Действия с натуральными числами
С натуральными числами можно производить следующие вычисления: сложение, вычитание, умножение и деление.
Сложение:
слагаемое + слагаемое = сумма
2 + 4 = 6
14 + 3 = 17
25 + 14 = 39
Кстати, если хотите дать ребёнку возможность потренироваться в сложении, предложите ему позаниматься на образовательной платформе iSmart. Здесь много разных интересных заданий, которые помогут лучше разобраться в арифметических действиях и надежно закрепить их в памяти.
Вычитание:
уменьшаемое — вычитаемое = разность
5 — 3 = 2
19 — 7 = 12
43 — 41 = 2
Потренироваться в вычитании можно на платформе iSmart.
Умножение:
множитель х множитель = произведение
5 х 3 = 15
12 х 4 = 48
17 х 23 = 391
Чтобы улучшить навыки умножения, загляните на платформу iSmart.
Деление:
делимое : делитель = частное
8 : 2 = 4
27 : 3 = 9
64 : 32 = 2
Навыки деления также можно совершенствовать на платформе iSmart.
Примечание: если уменьшаемое число будет равно вычитаемому, то в итоге получится ноль. Если уменьшаемое число будет меньше вычитаемого, то в итоге получится отрицательное число. Ноль и отрицательное число не являются натуральными числами.
Это же касается деления: если делимое меньше делителя, то в результате мы получим не целое, а дробное число.
Поэтому в результате сложения и умножения мы всегда получаем натуральные числа, а в результате вычитания и деления — как натуральные, так и не натуральные.
Сколько чисел?
Нам известно всего 10 цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, которые используются для записи чисел.
Но на первом месте, в обозначении количества сотен, могут быть только 9 из них. Потому что 0 быть не может, так как самое маленькое трёхзначное число — 100.
Сколько может быть разных цифр для разряда десятков? Десять, так как мы можем брать любую цифру, включая и 0.
А сколько для разряда единиц? Тоже 10.
Таким образом, пусть у нас будет первая цифра 1, тогда вторую можно записать, варьируя от 0 до 9, например:
- 10…
- 11…
- 12…
- 13…
- 14…
- 15…
- 16…
- 17…
- 18…
- 19…
Каждая вариация дает нам одно трёхзначное число. И теперь для каждого значения десятков по десять значений единиц:
101, 102,103, 104, 105, 106, 107, 108, 109 — тоже 10 чисел.
Действительно, если чуть-чуть упростить задачу и рассмотреть двузначные числа, то у нас будет на каждое число десятков, по 10 значений единиц.
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
Здесь число десятков остается неизменным, а меняется число единиц. То есть на каждое число десятков приходится 10 чисел.
Отсюда, чтобы найти общее количество трехзначных чисел, нам надо умножить количество цифр, обозначающих сотни, на количество цифр для обозначения десятков и на количество цифр, обозначающих единицы:
а·b·c=9·10·10=900
Десятичная система счисления
Когда древние люди научились считать, им понадобилось как-то обозначать количество. Сначала для этого использовались собственные пальцы, но это было не очень-то удобно, потому что пальцев на руках и ногах всего двадцать, а предметов может быть больше.
Тогда люди придумали специальные символы, которые назвали цифрами. Цифры бывают арабскими и римскими.
Арабские цифры выглядят вот так:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Римские цифры выглядят вот так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X
Римскими цифрами не очень удобно пользоваться, поэтому в математике мы используем арабские. Их всего десять, поэтому арифметические действия, производимые с их помощью, называются десятичной системой счисления.
Однозначные, двузначные и трёхзначные натуральные числа
Однозначное натуральное число — это число, которое состоит из одной цифры. Всего есть девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Девять предметов и ещё один — это десяток. Может быть один или несколько десятков. И может быть один или несколько десятков, и ещё одна или несколько единиц предметов.
Для обозначения таких чисел применяются двузначные натуральные числа. Сначала пишется количество десятков, потом количество единиц.
Например, в числе 20 — два десятка и ноль единиц. В числе 35 — три десятка и пять единиц. В числе 81 — восемь десятков и одна единица.
Всего существует 90 двузначных чисел.
Практика:
Попросите ребёнка определить, сколько десятков и единиц в числах: 73, 18, 99.
Если есть девять десятков и ещё один — это сотня. В натуральном числе может быть одна или несколько сотен, один или несколько десятков, одна или несколько единиц.
Например, в числе 113 — одна сотня, один десяток и три единицы. В числе 304 — три сотни, ноль десятков и четыре единицы. В числе 550 — пять сотен, пять десятков и ноль единиц.
Практика: попросите ребёнка определить, сколько сотен, десятков и единиц в числах: 221, 704, 998, 140.
Точно так же определяются четырёхзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.
Свойства натуральных чисел
Сложение, вычитание, умножение и деление подчиняются законам арифметики. Всего этих законов, основанных на свойствах натуральных чисел, пять.
- Переместительный закон сложения.
При сложении можно менять порядок слагаемых чисел как угодно — результат всегда будет одинаковым.
5 + 7 = 12 и 7 + 5 = 12
24 + 6 + 8 = 38 и 6 + 24 + 8 = 38 и 8 + 6 + 24 = 38
- Переместительный закон умножения.
При умножении можно менять порядок множителей как угодно — результат всегда будет одинаковым.
2 х 4 = 8 и 4 х 2 = 8
4 х 3 х 5 = 60 и 3 х 5 х 4 = 60 и 5 х 4 х 3 = 60
- Сочетательный закон сложения.
При сложении трёх чисел можно сложить первое и второе, и к их сумме прибавить третье, а можно сложить второе и третье, и к их сумме прибавить первое — результат будет один и тот же.
(5 + 7) + 8 = 12 + 8 = 20 и 5 + (7 + 
= 5 + 15 = 20
17 + (4 + 23) = 17 + 27 = 44 и (17 + 23) + 4 = 40 + 4 = 44
- Сочетательный закон умножения.
Когда умножаем три числа, то результат не изменится, если перемножать множители не по порядку.
3 х (2 х 5) = 30 и (3 х 5) х 2 = 30
- Распределительный закон.
Результат умножения суммы на число будет равен результату сложения произведений каждого слагаемого суммы на это число.
5 х (3 + 4) = 5 х 3 + 5 х 4 = 35
Вот мы и познакомились с основной информацией о натуральных числах. Мы используем их каждый день: считаем, сколько ложечек сахара положить в чай, сколько бензина залить в машину. С помощью натуральных чисел мы определяем, что выгодней: купить три маленьких коробочки с печеньем или одну большую. Вычисляем, на сколько долек разрезать яблоко, чтобы угостить сестру, маму, папу — и полакомиться самому. Поэтому обязательно учитесь пользоваться натуральными числами — и они обязательно ещё не раз сослужат вам добрую службу.
Знания лучше всего закрепляются в памяти, если ребёнок применяет их на практике, выполняя интересные задания. Такую возможность предоставляет образовательная платформа iSmart. Здесь представлены онлайн-тренажёры, разработанные в соответствии с образовательными стандартами РФ, являющиеся эффективным вспомогательным инструментом для усвоения школьной программы.
Есть разделы по математике, русскому и английскому языкам, окружающему миру, логике и другим предметам. Кроме упражнений для закрепления материала есть также возможность подготовиться к ВПР и контрольным работам.
Зарегистрируйте своего ребёнка на образовательной платформе iSmart, чтобы начать занятия.